Zadanie 19 — wysokość trójkąta w prostokącie z pola

Jaką długość ma wysokość DS trójkąta ACD w prostokącie o bokach 12 cm i 16 cm.

Zadanie

Dany jest prostokąt $ABCD$ o wymiarach $12$ cm i $16$ cm. Odcinek $AC$ jest przekątną tego prostokąta. Odcinek $DS$ jest wysokością trójkąta $ACD$ (patrz rysunek).

Rys. Prostokąt ABCD z przekątną AC. Z wierzchołka D poprowadzono odcinek DS prostopadły do AC. Bok DC jest krótszy od boku AD.

Oblicz długość odcinka $DS$ . Zapisz obliczenia.

Jak to ugryźć

Trójkąt $ACD$ jest prostokątny, bo kąt prostokąta przy $D$ ma $90^\circ$ . Jego pole możesz obliczyć na dwa sposoby: z przyprostokątnych $12$ i $16$ albo z przeciwprostokątnej $AC$ i wysokości $DS$ . Oba wyniki muszą być równe. Długość $AC$ obliczysz z twierdzenia Pitagorasa.

Krok po kroku

Rys. Trójkąt ACD: przyprostokątne DC = 12 cm i AD = 16 cm, przeciwprostokątna AC = 20 cm, wysokość DS opuszczona na AC.

Przekątna: $|AC|^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400 \quad \Rightarrow \quad |AC| = 20 \text{ cm}$
Pole trójkąta $ACD$ z przyprostokątnych: $P = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 96 \text{ cm}^2$
To samo pole z podstawy $AC$ i wysokości $DS$ : $\frac{1}{2} \cdot 20 \cdot |DS| = 96 \quad \Rightarrow \quad 10 \cdot |DS| = 96 \quad \Rightarrow \quad |DS| = 9{,}6 \text{ cm}$

Sprawdzenie sensowności: $DS$ jest krótszy od obu boków $12$ i $16$ , tak jak na rysunku.

Odpowiedź: Odcinek $DS$ ma długość $9{,}6$ cm.

Jak to zapisać na egzaminie

Zapisz twierdzenie Pitagorasa dla przekątnej $AC$ , a potem równość dwóch wzorów na pole trójkąta $ACD$ . Za samą przekątną albo samo pole $96 \text{ cm}^2$ jest $1$ punkt. Długości $DS$ nie odczytuj z rysunku linijką — takie rozwiązanie nie jest uznawane.

Za co są punkty · 3

1Za obliczenie długości przekątnej AC (20 cm) albo pola trójkąta ACD (96 cm²) albo pola trójkąta CDE (48 cm²).
1Za porównanie dwóch wyrażeń opisujących pole trójkąta ACD: z przyprostokątnych oraz z przekątnej AC i odcinka DS.
1Za poprawne obliczenia i wynik: DS = 9,6 cm.

Tu łatwo o błąd

Źle	Dlaczego źle	Dobrze
$P = 12 \cdot 16 = 192$ dla trójkąta	to pole całego prostokąta	trójkąt to połowa: $96$
$\lvert DS \rvert = 96 : 20 = 4{,}8$	pominięta połowa we wzorze na pole trójkąta	$\frac{1}{2} \cdot 20 \cdot \lvert DS \rvert = 96$ , więc $9{,}6$
$\lvert AC \rvert = 12 + 16 = 28$	przekątna nie jest sumą boków	$\sqrt{144 + 256} = 20$

Dasz radę sam?Oznacz „Umiem”, gdy potrafisz rozwiązać to zadanie samodzielnie.

Oznaczenia są zapisane tylko w tej przeglądarce.

Zaloguj się

Następne zadanie

Sprawdź, czy pamiętasz wzory

Najpierw przypomnij sobie odpowiedź, a dopiero potem odwróć kartę.

No cards available in this deck.

Ćwicz w zestawie

Pola i obwodyOtwarte · 3 pkt

CKE · Arkusz · maj 2021 · zad. 19