Zadanie 18 — długość przekątnej rombu z obwodu i drugiej przekątnej

Jaką długość ma przekątna BD rombu o obwodzie 52 cm, którego przekątna AC ma 24 cm.

Zadanie

Dany jest romb $ABCD$ . Obwód tego rombu jest równy $52$ cm, a przekątna $AC$ ma długość $24$ cm (zobacz rysunek poniżej).

Rys. Romb ABCD z narysowaną przekątną AC o długości 24 cm.

Oblicz długość przekątnej $BD$ rombu $ABCD$ . Zapisz obliczenia.

Jak to ugryźć

Romb ma cztery równe boki, więc z obwodu obliczysz długość boku. Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym i dzielą się na połowy. Dzięki temu powstają cztery trójkąty prostokątne. W każdym z nich bok rombu jest przeciwprostokątną, a połowy przekątnych są przyprostokątnymi.

Krok po kroku

Rys. Punkt E to punkt przecięcia przekątnych. W trójkącie prostokątnym BCE: EC = 12 cm (połowa przekątnej AC), BC = 13 cm (bok rombu), EB = x (połowa przekątnej BD).

Bok rombu: $52 : 4 = 13$ cm.
Połowa przekątnej $AC$ : $24 : 2 = 12$ cm.
Trójkąt $BCE$ jest prostokątny. Oznacz połowę przekątnej $BD$ przez $x$ . Z twierdzenia Pitagorasa: $x^2 + 12^2 = 13^2$ $x^2 = 169 - 144 = 25$ $x = 5 \text{ cm}$
Cała przekątna $BD$ : $2 \cdot 5 = 10$ cm.

Sprawdzenie sensowności: $BD = 10$ cm jest krótsza od $AC = 24$ cm, tak jak na rysunku.

Odpowiedź: Przekątna $BD$ ma długość $10$ cm.

Jak to zapisać na egzaminie

Zaznacz na rysunku punkt przecięcia przekątnych i wpisz długości: $13$ przy boku, $12$ przy połowie przekątnej $AC$ , $x$ przy połowie $BD$ . Napisz, w którym trójkącie stosujesz twierdzenie Pitagorasa. Na koniec pomnóż $x$ przez $2$ — za samą połowę przekątnej nie dostaniesz kompletu punktów.

Za co są punkty · 3

1Za obliczenie długości boku rombu (13 cm) i połowy przekątnej AC (12 cm) albo za jedną z tych długości razem z zapisaniem twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta, w którym przyprostokątną jest połowa przekątnej BD.
1Za zapisanie twierdzenia Pitagorasa z danymi, np. x² + 12² = 13², albo za ustalenie, że połowa przekątnej BD ma 5 cm.
1Za poprawne obliczenia i wynik: przekątna BD ma 10 cm.

Tu łatwo o błąd

Źle	Dlaczego źle	Dobrze
$x^2 + 24^2 = 13^2$	w trójkącie jest połowa przekątnej, a nie cała	$x^2 + 12^2 = 13^2$
odpowiedź $5$ cm	to połowa przekątnej $BD$	$BD = 2 \cdot 5 = 10$ cm
bok rombu $52 : 2 = 26$	romb ma cztery boki	$52 : 4 = 13$
$x = 13 - 12 = 1$	z twierdzenia Pitagorasa odejmujesz kwadraty, a nie długości	$x^2 = 169 - 144$

Dasz radę sam?Oznacz „Umiem”, gdy potrafisz rozwiązać to zadanie samodzielnie.

Oznaczenia są zapisane tylko w tej przeglądarce.

Zaloguj się

Dalej · zadanie 19 z 19Jaka jest objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, gdy na jego siatce zapisano wymiary 48 cm i 41 cm.Stereometria · 3 pkt

Następne zadanie

Zadanie 19

Sprawdź, czy pamiętasz wzory

Najpierw przypomnij sobie odpowiedź, a dopiero potem odwróć kartę.

No cards available in this deck.

Ćwicz w zestawie

TrójkątyOtwarte · 3 pkt

CKE · Arkusz · maj 2022 · zad. 18