Czy patyk zmieści się w pudełku — zadanie otwarte z przekątną prostopadłościanu

Zadanie

Pudełko ma kształt prostopadłościanu o wymiarach $60$ cm $\times$ $30$ cm $\times$ $40$ cm. Czy zmieści się w nim prosty patyk o długości $70$ cm? Uzasadnij odpowiedź.

To typowe zadanie otwarte: samo „tak” nie daje punktów. Punkty są za uzasadnienie.

Dane

Najdłuższy odcinek, jaki mieści się w prostopadłościanie, to jego przekątna. Patyk zmieści się wtedy i tylko wtedy, gdy jest od niej krótszy.

Wzory

Przekątna prostopadłościanu:

$d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$

Tok rozwiązania

1. Kwadrat przekątnej: $d^2 = 60^2 + 30^2 + 40^2 = 3600 + 900 + 1600 = 6100$
2. Kwadrat długości patyka: $70^2 = 4900$
3. Porównanie. Skoro $4900 < 6100$, to $70 < d$: $70^2 < d^2 \quad \Rightarrow \quad 70 < d$
4. Patyk jest krótszy od przekątnej, więc zmieści się w pudełku ustawiony wzdłuż przekątnej.

Wynik

Tak, patyk się zmieści. Przekątna pudełka jest dłuższa niż $70$ cm, bo $70^2 = 4900$, a $d^2 = 6100$.

Jeśli chcesz podać samą długość przekątnej, oszacuj ją bez kalkulatora:

$78^2 = 6084 \qquad 79^2 = 6241$

Skoro $6084 < 6100 < 6241$, to $d$ jest między $78$ cm a $79$ cm, czyli około $78$ cm.

Jak to zapisać na egzaminie

Wystarczą trzy elementy: wzór na przekątną, obliczenie $d^2 = 6100$ i zdanie porównujące z $70^2 = 4900$ wraz z odpowiedzią. Nie musisz wyciągać pierwiastka — porównanie kwadratów jest pełnym uzasadnieniem i szybciej się liczy bez kalkulatora.

Typowy błąd

Porównuj kwadraty, nie przybliżenia. Zaokrąglony pierwiastek w środku rozwiązania zamienia dowód w zgadywanie.

Źle: $d = 60 + 30 + 40 = 130$ cm (dodane krawędzie zamiast ich kwadratów).

Źle: $d = \sqrt{60^2 + 30^2} = \sqrt{4500}$ (to przekątna ściany, a nie bryły — pominięta trzecia krawędź).

Źle: „$\sqrt{6100} \approx 78$, czyli patyk się mieści” bez pokazania, skąd bierze się $78$ — brak uzasadnienia oszacowania.

Dobrze: $d^2 = 6100$, $70^2 = 4900$, więc $70 < d$ i patyk się mieści.