Zadanie 19 z 19Arkusz maj 2024
StereometriaOtwarte · 2 pkt
CKE · 2024

Zadanie 19 — różnica wysokości dwóch wież z objętości ostrosłupa

O ile jedna wieża z klocków jest wyższa od drugiej, gdy jedna ma sześcian i ostrosłup, a druga dwa sześciany.

01

Zadanie

Z trzech jednakowych klocków w kształcie sześcianu i jednego klocka w kształcie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego zbudowano dwie wieże (zobacz rysunek).

Krawędź sześcianu ma długość 1010 cm. Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 99 cm, a jego objętość jest równa 324 cm3324 \text{ cm}^3.

Rys. Dwie wieże. Wieża I to sześcian, na którym stoi ostrosłup prawidłowy czworokątny. Wieża II to dwa sześciany ustawione jeden na drugim.

Oblicz różnicę wysokości obu wież. Zapisz obliczenia.

02

Jak to ugryźć

Obie wieże stoją na jednakowym sześcianie, więc różnią się tylko górnym klockiem: ostrosłup kontra sześcian. Wysokości ostrosłupa nie znasz, ale znasz jego objętość i podstawę. Ze wzoru na objętość wyznaczysz wysokość HH.

03

Krok po kroku

Rys. Widok z przodu obu wież. Wieża I: sześcian o krawędzi 10 cm i ostrosłup o wysokości H. Wieża II: dwa sześciany o krawędzi 10 cm.

  1. Pole podstawy ostrosłupa (kwadrat o boku 99 cm): Pp=9⋅9=81 cm2P_p = 9 \cdot 9 = 81 \text{ cm}^2
  2. Wysokość ze wzoru na objętość: V=13⋅Pp⋅H⇒324=13⋅81⋅HV = \frac{1}{3} \cdot P_p \cdot H \quad \Rightarrow \quad 324 = \frac{1}{3} \cdot 81 \cdot H 324=27⋅H⇒H=12 cm324 = 27 \cdot H \quad \Rightarrow \quad H = 12 \text{ cm}
  3. Wysokości wież: wiez˙a I: 10+12=22 cm,wiez˙a II: 10+10=20 cm\text{wieża I: } 10 + 12 = 22 \text{ cm}, \qquad \text{wieża II: } 10 + 10 = 20 \text{ cm}
  4. Różnica: 22−20=222 - 20 = 2 cm.

Odpowiedź: Różnica wysokości obu wież jest równa 22 cm.

04

Jak to zapisać na egzaminie

Zapisz wzór na objętość ostrosłupa i podstaw do niego wszystkie dane: 324=13⋅9⋅9⋅H324 = \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot 9 \cdot H. Samo to daje już 11 punkt. Drugi punkt jest za poprawne obliczenia i wynik 22 cm. Możesz od razu porównać tylko górne klocki: 12−10=212 - 10 = 2 — dolne sześciany są takie same. Sam wynik bez obliczeń daje 00 punktów.

05

Za co są punkty · 2

  • 1Za poprawny sposób obliczenia wysokości ostrosłupa ze wzoru na objętość z wszystkimi danymi, np. 324 = 1/3 · 9 · 9 · H.
  • 1Za poprawne obliczenia i wynik: różnica wysokości wynosi 2 cm.
06

Tu łatwo o błąd

ŹleDlaczego źleDobrze
324=81⋅H324 = 81 \cdot H, więc H=4H = 4pominięta jedna trzecia we wzorze na objętość ostrosłupa324=13⋅81⋅H324 = \frac{1}{3} \cdot 81 \cdot H, H=12H = 12
Pp=4⋅9=36P_p = 4 \cdot 9 = 36to obwód kwadratu, a nie polePp=92=81P_p = 9^2 = 81
HH jako krawędź bocznawysokość ostrosłupa to odcinek od wierzchołka prostopadle do podstawyHH ze wzoru na objętość
Źródło: Arkusz i zasady oceniania — egzamin ósmoklasisty z matematyki, termin główny 15 maja 2024 (CKE).
Następne zadanie

Sprawdź, czy pamiętasz wzory

Najpierw przypomnij sobie odpowiedź, a dopiero potem odwróć kartę.

No cards available in this deck.

Ćwicz w zestawie