Jak rozwiązać zadanie tekstowe diagramem Venna

Kiedy tego użyć

Gdy zadanie opisuje jedną grupę (klasę, uczestników obozu, liczby od $1$ do $50$) i dwie cechy, które mogą występować razem: ma psa i ma kota, gra w piłkę i pływa, liczba jest parzysta i podzielna przez $5$. Pytanie brzmi zwykle: ilu ma tylko jedną cechę, ilu co najmniej jedną, ilu żadnej.

Kroki

1. Nazwij zbiory i narysuj diagram. Prostokąt to cała grupa $U$, koła to zbiory $A$ i $B$. Zapisz obok, ile elementów liczy cała grupa.
2. Zacznij od środka. W obszar ② wpisz, ile elementów ma obie cechy naraz, czyli $|A \cap B|$.
3. Uzupełnij „tylko”. Od każdego koła odejmij środek. W obszar ① wpisz $|A| - |A \cap B|$, a w obszar ③ wpisz $|B| - |A \cap B|$.
4. Policz „co najmniej jedno”. Dodaj trzy obszary w kołach: ① + ② + ③. To jest liczba elementów sumy $|A \cup B|$.
5. Policz „żadne”. W obszar ④ wpisz $|U| - |A \cup B|$.
6. Sprawdź. Cztery obszary razem, ① + ② + ③ + ④, muszą dać liczebność całej grupy $|U|$.

Jeśli zadanie od razu podaje liczbę „tylko $A$”, wpisujesz ją prosto w obszar ① — niczego nie odejmujesz.

Przykład

W grupie $25$ osób $14$ gra w piłkę, $10$ pływa, a $6$ robi jedno i drugie. Ile osób nie robi żadnej z tych rzeczy?

Sprawdzenie: $8 + 6 + 4 + 7 = 25$. Żadnej z tych rzeczy nie robi $7$ osób.

Typowy błąd

Nie wpisuj całej liczebności $|A|$ w obszar ①. Zdanie „$14$ osób gra w piłkę” obejmuje też tych, którzy dodatkowo pływają. Dlatego zaczynasz od środka diagramu.

Źle: ① $= 14$, ③ $= 10$, a wtedy ④ $= 25 - 14 - 6 - 10 = -5$. Wynik ujemny to sygnał, że część wspólna została policzona więcej niż raz.

Źle: ④ $= 25 - 14 - 10 = 1$ (osoby robiące obie rzeczy odjęte dwa razy).

Dobrze: ④ $= 25 - (14 + 10 - 6) = 25 - 18 = 7$.